本記事で学べること

・ラムダ計算

はじめに

関数型プログラミング入門 2 では、関数型プログラミングの機能面について見ていきました。そこで今回から、関数型プログラミングの理論的背景を学んでいこうと思います。目標は、型付ラムダ計算を理解することですが、その前にラムダ計算について学習することから始めましょう。型付ラムダ計算は、関数型プログラム言語の基盤であるため、これを理解することができれば、関数型プログラムの扱いが格段に上達すると思います。

ラムダ計算

基本

変数 a, b, c, … が与えられたとき、次のような表現をラムダ項といいます。

a (λa.M) (MN)

ただし、M, N もそれ自体ラムダ項とします。 (λa.M) の形のラムダ項を抽象、(MN) の形のラムダ項を適用といいます。(MN) は、関数 M を入力 N に対して使うことに相当します。また、λ の横にある変数は束縛変数といい、それ以外の変数を自由変数といいます。例えば、(λa.ab) の中で a は束縛変数、b は自由変数です。λa は述語論理の ∃x や ∀x と同じようなものだと理解して構いません。
ラムダ項で使われるカッコは適宜省略することにしましょう。例えば、MNK は (MN)K を意味します。また、λa.λb は λab と表記することにします。
 

計算のルール

計算は次のように行われます。

(λa.M(a))N →β M(N)

λa から始まるラムダ抽象に値 N が適用されたら、変数 a に N を代入します。ここで、左側の項を β 基といい、これを右側に書き換えることを β 簡約といい、→β　で表します。 β 基をどんどん簡約していくことが、ラムダ項の計算法です。

具体例

ここからは、色々な計算の具体例を見ていって、ラムダ計算に慣れていきましょう。
まず、ラムダ計算における真偽の表し方を紹介します。

T := λab.a F : = λab.b

最初の引数である a を返すのが T で、後の引数である b を返すのが F です。具体的には、

T M N ≡ (λab.a) M N →β (λb.M) N →β M
F M N ≡ (λab.b) M N →β (λb.b) N →β N

(λb.M) N →β M では、変数 b が M に含まれないとして、単に N を消去しています。
次に、関数の合成を見ていきましょう。M と N を関数として見ると、N の出力を M に渡せばいいから、

M ○ N := λa.M(Na)

と表せます。3つの関数の合成ならば、

M ○ N ○ K := λa.M(N(Ka))

となります。
次に、自然数の表現について説明します。ラムダ計算では、自然数 0, 1, 2, 3, … を

λfa.a, λfa.fa, λfa.f(fa), λfa.f(f(fa)), …

を表します。これらをチャーチ数項といいます。省略表現として、

0, 1, 2, 3, …

として表すこともあります。チャーチ数項 n を用いれば、「P から出発して Q を n 回繰り返すこと」を n P Q で表すことができます。例えば n が 3 の場合は、次のようになります。

3 Q P ≡ λfa.f(f(fa)) Q P →β λa.Q(Q(Qa)) →β Q(Q(Q P))

合成の記号 ○ を用いれば、チャーチ数項 n は

λf. f ○ ・・・ ○f (n回)

と書くこともできます。つまり、「与えられた関数を n 回合成すること」として 自然数 n を表しています。
また、足し算や掛け算は次のように定義できます。

M + N := λg.Mg ○Ng
M・N := λg.M Ng

足し算では、M と N がチャーチ数項の場合、「g を M 回繰り返した関数」と 「g を N 回繰り返した関数」の合成であるため、全体は「g を M + N 回繰り返した関数」となっています。掛け算では、掛け算では 関数が M・N 回出てくることがわかります。一応、具体例を見ておきましょう。

2 + 3 ≡ λg.(λf.f ○ f)g ○ (λf.f ○ f ○ f)g →β λg.(g ○ g) ○ (g ○ g ○ g) →β λg. g ○ g ○ g ○ g ○ g ≡ 5

2・3 ≡ λg.(λf.f ○ f)((λf.f ○ f ○ f)g) →β λg.(λf.f ○ f)(g ○ g ○ g ) →β λg.(g ○ g ○ g ) ○ (g ○ g ○ g ) →β λg.g ○ g ○ g ○ g ○ g ○ g ≡ 6

まとめ

本記事では、ラムダ計算について解説しました。これで型付ラムダ計算の説明に入る準備ができたと思います。ということで、次回は型付ラムダ計算の仕組みについて書いていきます。お楽しみに！